Question

【題目】已知數列的前項和為，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，數列的前項和為，求使不等式對一切都成立的正整數的最大值.

（3）設，是否存在，使得成立?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）672（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）由數列的遞推式，計算可得所求通項公式；

（2）求得，運用裂項相消求和可得，判斷的單調性，可得最小值，即可得到的最大值；

（3）討論為奇數或偶數，假設存在，計算可判斷是否存在．

解：（1）因為，所以，又因為滿足上式，所以.

（2）由（1）可知，所以，顯然隨著的增大而增大，故的最小值為，由可得.

（3）結論：不存在滿足條件的.

理由如下:①當為奇數時為偶數，則，即，所以，解得，矛盾.

②當為偶數時為奇數，則，即，所以，解得，矛盾.綜上所述，不存在滿足條件的.