Question

【題目】已知幾何體中，，，，面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角E－BD－F的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由勾股定理逆定理證得，再由已知得平面，，從而有線面垂直，得面面垂直；

（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系，寫出各點坐標，求出二面角兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值（注意判斷二面角是銳角還是鈍角）．

（1）證明：在直角梯形中由已知可得

，且面，

平面，

面，，

，面，面

∴面

且面，故面面；

（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系如圖

，

則，

設面DEB的法向量為，

則，

取，則，故

設面DBF的法向量為，則，

取，則，故

則，

由圖可得二面角E-BD-F的余弦值為．