Question

已知α，β≠

kπ

2

，且α+β≠nπ+

π

2

，k，n∈Z，若

sin(α+2β)

sinα

=3，則

tan(α+β)

tanβ

=

 

．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用,兩角和與差的正切函數

專題：三角函數的求值

分析：已知等式去分母整理后，角度變形并利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后利用同角三角函數間基本關系化簡即可求出原式的值．

解答： 解：已知等式整理得：sin（α+2β）=3sinα，
即sin[（α+β）+β]=3sin[（α+β）-β]，
sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=3[sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ]
即2sin（α+β）cosβ=4cos（α+β）sinβ，
整理得：sin（α+β）cosβ=2cos（α+β）sinβ，
∴tan（α+β）=2tanβ，
則

tan(α+β)

tanβ

=2．
故答案為：2

點評：此題考查了同角三角函數基本關系的運用，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．