Question

【題目】已知函數

（1）當時，求滿足方程的的值;

（2）若函數是定義在R上的奇函數.

①若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍;

②已知函數滿足，若對任意且，不等式恒成立，求實數的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

(1)解方程求出的值即可；

(2)根據函數是定義在R上的奇函數，由定義列出方程，求出，

對于①，利用函數單調性的定義證明的單調性，利用單調性化簡不等式得到，由，即可得到實數的取值范圍；

對于②，由的解析式得到的解析式，化簡，結合換元法以及基本不等式得到實數的最大值.11

解：（1）因為，，所以，

化簡得，解得（舍）或，

所以.

（2）因為是奇函數，

所以，所以

化簡變形得：

要使上式對任意恒成立，則且

解得：或，因為的定義域是，所以舍去

所以，，所以.

①，

對任意，，且有：，

因為，所以，所以，

因此在上單調遞增，

因為，當時成立，所以，當時成立，

即，當時成立，

當時，，所以.

②因為，所以，

所以，

不等式恒成立，即，

令，因為且，

所以，即，

所以，當時恒成立，即，當時恒成立，

因為，，當且僅當時，等號成立，

所以，即實數的最大值為.