Question

已知幾何體EFG-ABCD如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長為1，點M在邊DG上．
（1）求證：BM⊥EF；
（2）是否存在點M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°．若存在，試求點M的位置．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：計算題,作圖題,證明題,空間位置關系與距離

分析：如圖，連結AC、BD，交于點O，作OH∥AE，交EF于點H，連結BH，
（1）可證明EF∥AC；再證明AC⊥平面BDG，從而可證明EF⊥平面BDG，從而證明BM⊥EF；
（2）易知∠HBO是平面BEF與平面ABCD所成的角，從而求出tan∠HBO=

HO

OB

=

2

＞1，說明存在，再由三角恒等變換求MD的長度即可．

解答： 解：如圖，連結AC、BD，交于點O，作OH∥AE，交EF于點H，連結BH，
（1）證明：∵四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，
∴AE=CF，AE∥CF，
∴AEFC是平行四邊形，
∴EF∥AC；
又∵AC⊥BD，
DG⊥AC，
∴AC⊥平面BDG，
∴EF⊥平面BDG，
又∵BM?平面BDG，
∴BM⊥EF；
（2）易知∠HBO是平面BEF與平面ABCD所成的角，
在Rt△BOH中，
OH=1，BO=

2

2

，
則tan∠HBO=

HO

OB

=

2

＞1，
∴存在點M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°，
∠MBH為直線MB與平面BEF所成的角，
若∠MBH=45°，
則tan∠MBD=tan（∠HBO-45°）
=

2 -1

2 +1

=3-2

2

，
故

MD

BD

=3-2

2

，
則MD=3

2

-4．

點評：本題考查了學生的空間想象力與作圖能力，同時考查了三角恒等變換及三角函數的定義，屬于中檔題．