Question

有4名同學準備利用假期到4個村莊進行社會實踐調查，每個人都只去一個村莊，他們每個人事前并不知道其他同學的去向，問：
（1）共有多少種不同的去向結果？
（2）如果恰有一個村莊沒有人去，有多少種不同的去向結果？
（3）如果恰有兩個村莊沒有人去，有多少種不同的去向結果？

Answer 1

分析：（1）每個人都有4種去向，由分步計數原理可得結果；
（2）恰有一個村莊沒有人去，即4個村莊只有3個村莊有人去，各村莊去的人數只可能是1、1、2．由分步計數原理可得；
（3）恰有兩個村莊沒有人去，也就是4個人到2個村莊，分兩類：①每個村莊去兩個人．②一個村莊去3個人，另一個村莊去1個人，分別由分步計數原理可得結果，相加即可．

解答：解：（1）設這四名同學為甲、乙、丙、丁，則甲可去任一個村莊，有4種去向，
同理其他三人也各有4種，由分步計數原理知，共有4⁴=256種去向結果．
（2）恰有一個村莊沒有人去，則4個村莊只有3個村莊有人去，各村莊去的人數只可能是1、1、2．
先從4人中選取2人同去一個村莊，有

C

2 4

種方法，然后與其余2個人看成3個小組，
分別到4個村莊中的3個村莊，有

A

3 4

種結果，
則由分步計數原理知，共有

C

2 4

•

A

3 4

=144種不同的去向結果．
（3）恰有兩個村莊沒有人去，也就是4個人到2個村莊，從人數看有兩種不同的結果：
①每個村莊去兩個人．先從4個村莊中選取有人去的2個村莊，有

C

2 4

種結果，
把4個人平均分成2組后，分到這2個村莊去有

C

2 4

•

C

2 2

種結果，
由分步計數原理知，共有

C

2 4

•

C

2 4

•

C

2 2

=36種結果；        
②一個村莊去3個人，另一個村莊去1個人，先把人分成兩組，一組1人，一組3人，有

C

1 4

種結果，
再選擇兩組人去的村莊有

A

2 4

種結果，由分步計數原理知，共有

C

1 4

•

A

2 4

=48種結果．         
由分類計數原理知，共有36+48=84種不同的去向結果．

點評：本題考查排列組合與簡單的計數原理，屬中檔題．