Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；

（2）求函數(shù)的值域；

（3）令，討論函數(shù)零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，有且僅有一個零點

【解析】

（1）求出函數(shù)定義域后直接用定義法即可證明；

（2）由題意得，對兩邊同時平方得，求出

的取值范圍即可得解；

（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可得解.

（1）證明：令，解得，故函數(shù)的定義域為

令，

由，可得，所以，，

故即，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.

（2）由，，故，

，

當(dāng)時，，有，可得：，故，

由，可得，故函數(shù)的值域為，

（3）由（2）知，

則，

令，則，

令，

①當(dāng)時，，此時函數(shù)沒有零點，故函數(shù)也沒有零點；

②當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，，故函數(shù)有一個零點，又由函數(shù)單調(diào)遞增，可得函數(shù)也只有一個零點；

③當(dāng)時，，二次函數(shù)開口向下，對稱軸，

又 ，，此時函數(shù)沒有零點，故函數(shù)也沒有零點.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點.