Question

【題目】已知函數f（x）＝ex﹣ax﹣1，a∈R．

（1）當a＝2時，求函數f（x）的單調性；

（2）設a≤0，求證：x≥0時，f（x）≥x2．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（﹣∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增（2）證明見解析

【解析】

（1）將代入，求函數的導函數，由函數的單調性與導數即可求解.

（2）利用分析法，將不等式轉化為f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立，

令g（x）＝ex﹣ax﹣1﹣x2，研究的單調性即可證明.

（1）解：當a＝2時，f（x）＝ex﹣2x﹣1；

f′（x）＝ex﹣2；

當f′（x）＝0時，x＝ln2；

∴f（x）在（﹣∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增；

（2）證明：令g（x）＝f（x）﹣x2；

即證當x≥0時，g（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立；

g′（x）＝ex﹣2x﹣a；

令h（x）＝g′（x），則h′（x）＝ex﹣2；

由第（1）問可知，h（x）min＝h（ln2）＝2﹣2ln2﹣a；

∵a≤0；

∴h（ln2）＞0；

∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上單調遞增；

∴g（x）≥g（0）＝0；

∴當x≥0時，f（x）≥x2．