Question

函數f(x)=

x2+a

x+1

(a∈R)．
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為

1

2

，求實數a的值；
（2）若f（x）在x=1取得極值，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

（1）f′(x)=

2x(x+1)-x2-a

(x+1)2

=

x2+2x-a

(x+1)2

，
若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為

1

2

，則f′(1)=

1

2

．
所以，f“(1)=

3-a

4

=

1

2

，得a=1．
（2）因為f（x）在x=1處取得極值，
所以f'（1）=0，即1+2-a=0，a=3，
∴f′(x)=

x2+2x-3

(x+1)2

．
因為f（x）的定義域為{x|x≠-1}，所以有：

所以，f（x）的單調遞增區間是（-∞，-3），（1+∞），單調遞減區間是（-3，-1），（-1，1）．