Question

設函數f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx．（0＜a＜3）
（1）當a=2時，求函數f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx的單調區間．
（2）當x∈[1，+∞）時，若f（x）≥-5xlnx+3lnx-

3

2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=2時，f′（x）=

(x-3)(x-1)

x

，
當x∈（0，1]時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
當x∈（1，3]時，f′（x）＜0，f（x）為減函數．
當x∈（3，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
∴函數f（x）單調增區間為（0，1]，（3，+∞），單調減區間為（1，3]；
（2）∵f（x）≥-5xlnx+3lnx-

3

2

，
∴

x2

2

-2ax+5xlnx+

3

2

≥0，
∵x∈[1，+∞），
∴

x2

2

+5xlnx+

3

2

≥2ax，
∴

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

≥a，
令g（x）=

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

，則g′（x）=

x2+10x-3

4x2

，
∵x∈[1，+∞），
∴x²+10x-3＞0，
∴x∈[1，+∞）時，g′（x）＞0，
∴g（x）在x∈[1，+∞）上為增函數，
∴g（x）≥g（1）

1

4

+

3

4

=1≥a，
∴0＜a≤1．