Question

已知函數y=f（x）是R上的可導函數，當x≠0時，有f′(x)+

f(x)

x

＞0，則函數F(x)=xf(x)+

1

x

的零點個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

由F(x)=xf(x)+

1

x

=0，得xf（x）=-

1

x

，
設 g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x≠0時，有f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴x≠0時，

f(x)+xf′(x)

x

＞0，
即當x＞0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此時函數g（x）單調遞增，
此時g（x）＞g（0）=0，
當x＜0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此時函數g（x）單調遞減，
此時g（x）＞g（0）=0，
作出函數g（x）和函數y=-

1

x

的圖象，（直線只代表單調性和取值范圍），由圖象可知函數F(x)=xf(x)+

1

x

的零點個數為1個．
故選：B．