Question

已知函數f（x）=x³+3x²-9x+1
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，c）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[k，2]上的最大值為28，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3x²+6x-9，f′（1）=0，c=-4，即可求出切線方程．（Ⅱ）根據導數判斷出函數的單調性，求出極值，f（-3）=28，f（1）=-4，f（2）=3，
可判斷-3∈[k，2]，即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x³+3x²-9x+1，
∴f′（x）=3x²+6x-9，
f′（1）=0，f（1）=1+3-9+1=-4，c=-4，
∴在（1，-4）處的切線方程：y=-4；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²+6x-9=0，x=1，x=-3，
f′（x）=3x²+6x-9＞0，x＞1或x＜-3，
f′（x）=3x²+6x-9＜0，-3＜x＜1，

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

f（-3）=28，f（1）=-4，f（2）=3，
∵在區間[k，2]上的最大值為28，
∴k≤-3

點評：本題考查了導數在閉區間上的最值，判斷單調性，求解切線問題，屬于難題．