Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓： （）上，設(shè)， ， 分別為左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，且下頂點(diǎn)到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)， （）為橢圓上兩點(diǎn)，且滿足，求證： 的面積為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ，求出 、 、，即可得結(jié)果；（Ⅱ）直線的方程為，代入橢圓方程，并整理得 ，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式將、點(diǎn)到直線的距離公式將的面積，用 表示，再結(jié)合 ，即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由題意，得直線的方程為，點(diǎn)，

點(diǎn)到直線的距離 ，整理，得.①

又點(diǎn)在橢圓上， .②

聯(lián)立①②解得， ，

橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，并整理得 .

， ，

， ，

.

又，則由題意，得 .

整理，得，則 ，

整理，得（滿足）.

.

又點(diǎn)到直線的距離.

，為定值.