Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在一個周期內的圖像如圖所示，其中M（ ，2），N（ ，0）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a= ，c=3，f（ ）= ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖像可知：函數f（x）的周期T=4×（ ﹣ ）=π，

∴ω= =2．

又f（x）過點（ ，2），

∴f（ ）=2sin（ +φ）=2，sin（ +φ）=1，

∵|φ|＜ ， +φ∈（﹣ ， ），

∴ +φ= ，即φ= ．

∴f（x）=2sin（2x+ ）．

（2）解：∵f（ ）=2sin（A+ ）= ，即sin（A+ ）= ，

又A∈（0，π），A+ ∈（ ， ），

∴A+ = ，即A= ．

在△ABC中，A= ，a= ，c=3，

由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴13=b2+9﹣3b，即b2﹣3b﹣4=0，

解得b=4或b=﹣1（舍去）．

∴S△ABC= bcsinA= =3

【解析】（1）由圖像可求f（x）的周期T，由周期公式可得ω，又f（x）過點（ ，2），結合|φ|＜ ，即可求得φ的值，從而可求函數f（x）的解析式；（2）由f（ ）=2sin（A+ ）= ，結合A∈（0，π），即可求得A的值，在△ABC中，由余弦定理得b2﹣3b﹣4=0，解得b的值，由三角形面積公式即可得解．