Question

已知a為實數，f（x）=（x²-4）（x-a），f′（x）為f（x）的導函數．
（Ⅰ）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）結合已知中函數的解析式及f′（-1）=0，構造方程求出a值，進而分析出函數的單調性后，求出函數的極值和端點對應的函數值，比照后可得答案．
（II）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均單調遞增，則f′（x）=3x²-2ax-4≥0對（-∞，-2]恒成立且f′（x）=3x²-2ax-4≥0對[2，+∞）恒成立，解不等式組可得答案．

解答：解：（I）∵f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=2x（x-a）+（x²-4）
又∵f′（-1）=-2×（-1-a）+（1-4）=0，
∴a=

1

2

∴f（x）=（x²-4）（x-

1

2

），
∴f′（x）=2x（x-

1

2

）+（x²-4）=3x²-x-4
令f′（x）=0，
解得x=-1，x=

4

3

，
當x∈[-2，-1]時，f′（x）≤0恒成立，f（x）為減函數
當x∈[-1，4/3]時，f′（x）≥0恒成立，f（x）為增函數，
當x∈[4/3，2]時，f′（x）≤0恒成立，f（x）為減函數
又∵f（-2）=0，f（-1）=

9

2

，f（

4

3

）=-

50

27

，f（2）=0
可以得到最大值為

9

2

，最小值為-

50

27

（II）∵f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=3x²-2ax-4，
依題意：f′（x）=3x²-2ax-4≥0對（-∞，-2]恒成立，即
2ax≤3x²-4
∴a≥

3

2

x-

2

x

又∵y=

3

2

x-

2

x

在（-∞，-2]上為增函數，故x=-2時，

3

2

x-

2

x

取最大值-2，
所以a≥-2
f′（x）=3x²-2ax-4≥0對[2，+∞）恒成立，即
2ax≤3x²-4
∴a≤

3

2

x-

2

x

又∵y=

3

2

x-

2

x

在[2，+∞）上為增函數，故x=2時，

3

2

x-

2

x

取最小值2，
所以a≤2
故a的取值范圍為[-2，2]．

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，是導數的綜合應用，難度較大．