Question

已知a為實數，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（Ⅰ）若f′（-1）=0，求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導函數，令導函數在x=-1處的值為0求出a，將a的值代入導函數，令導函數等于0求出兩個根，將兩個根代入f（x）求出兩個函數值，再求出區間的兩個端點對應的函數值，從中選出最大值與最小值．
（II）求出f（x）的導函數，將已知條件的單調性轉化為不等式恒成立，結合二次函數的圖象，從區間的端點值的符號，對稱軸與區間的關系及判別式加以限制，列出不等式組，求出a的范圍．

解答：解：（I）f′（x）=3x²-2ax-4，f′(-1)=0解得a=

1

2

∴f′（x）=（3x-4）（x+1）
令f′（x）=0得x=

4

3

，x=-1
∵f（-1）=

9

2

，f(

4

3

)=-

50

27

，f（-4）=-54，f（4）=42
∴f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值分別是42，-54
（II）f′（x）≥0對一切x∈（-∞，-2]及[2，+∞）均成立，
∴

f′(-2)≥0 f′(2)≥0 -2≤ a 3 ≤2 △≥0

或△≤0
解得-2≤a≤2

點評：求函數在閉區間上的最值問題，一般先利用導數求出函數的極值，再求出閉區間的兩個端點對應的函數值，從中選出最值．