Question

已知a為實數，f（x）=x³-ax²-9x．
（1）求導數f'（x）；
（2）若f'（-1）=0，求f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在[-1，1]上是遞減的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用冪函數的導數公式（xⁿ）'=nx^n-1，進行求解即可；
（2）先根據f'（-1）=0，求出參數a，然后在區間[-1，1]求f′（x）=0的值，確定函數f（x）在區間[-1，1]上的單調性，從而求出函數在[-1，1]上的最值；
（3）根據f（x）在[-1，1]上是遞減，等價于f'（x）≤0在區間[-1，1]上恒成立，得到f'（-1）≤0，f′（1）≤0，建立方程組，解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²-9x，∴f'（x）=3x²-2ax-9．
（2）由f'（-1）=3得a=3，此時有f（x）=x³-3x²-9x，f'（x）=3x²-6x-9．
由f'（x）=0得x=3或x=-1，
∴函數f（x）在區間[-1，1]上是減函數．
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為f（-1）=-1-3+9=5，最小值為f（1）=1-3-9=-11．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是遞減，
∴f'（x）=3x²-2ax-9≤0在區間[-1，1]上恒成立．
由條件得f'（-1）≤0，f′（1）≤0，
即

3+2a-9≤0 3-2a-9≤0

，
∴-3≤a≤3．
所以a的取值范圍為[-3，3]．

點評：本題主要考查了導函數的求解，以及研究函數在閉區間上的最值問題和利用導數研究函數的單調性，預計未來的高考，導數還會繼續發揮其巨大的工具功能，屬于中檔題．