Question

已知f(x)=lg

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求證：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
（Ⅱ）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，求f（a）和f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡要證等式的左邊，結(jié)果等于等式的右邊，從而證得等式成立．
（2）由已知可證f（-x）=-f（x），再由（1）得

f( a+b 1+ab )=f(a)+f(b)=1 f( a-b 1-ab )=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=2

，解方程組求得f（a）和f（b）的值．

解答：解：（1）證明：∵f(x)=lg

1-x

1+x

，
∴f(x)+f(y)=lg

1-x

1+x

+lg

1-y

1+y

=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1+y)

=lg

1+xy-(x+y)

1+xy+(x+y)

=lg

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

) 成立．
（2）由已知可證f（-x）=-f（x），再由（1）得

f( a+b 1+ab )=f(a)+f(b)=1 f( a-b 1-ab )=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=2

，
解得f(a)=

3

2

，f(b)=-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，求函數(shù)的值，式子的變形，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．