Question

已知f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（3）若-

1

2

＜a＜

1

2

，試比較f（a）-f（-a）與f（2a）-f（-2a）的大小．

Answer 1

分析：（1）；令

1-x

1+x

＞0即可求得函數f（x）的定義域；
（2）利用奇函數的定義即可作出正確判斷；
（3）設1＞x₂＞x₁＞-1，通過作差可判斷

1-x2

1+x2

與

1-x1

1+x1

的大小，從而得f（x₂）與f（x₁）的大小，可得f（x）的單調性，由（2）函數f（x）的奇偶性，f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），按0＜a＜

1

2

時，a=0，-

1

2

＜a＜0三種情況討論，由單調性即可作出其大小比較；

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
所以函數f（x）的定義域為（-1，+1）．
（2）f（x）為奇函數，證明如下：
因為f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，
且f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是奇函數．
（3）設1＞x₂＞x₁＞-1，
則

1-x2

1+x2

-

1-x1

1+x1

=（-1+

2

1+x2

）-（-1+

2

1+x1

）
=2×

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0，
∴0＜

1-x2

1+x2

＜

1-x1

1+x1

，
∴lg

1-x2

1+x2

＜lg

1-x1

1+x1

，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數f（x）在（-1，1）上是減函數．
由（2）知函數f（x）在（-1，1）上是奇函數，
∴f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），
∴當0＜a＜

1

2

時，2a＞a，則f（2a）＜f（a），
∴f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；
當a=0時，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；
當-

1

2

＜a＜0時，2a＜a，f（2a）＞f（a），所以f（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．
綜上，當0＜a＜

1

2

時，f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；當a=0時，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；當-

1

2

＜a＜0時，（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．

點評：本題考查函數定義域的求解、函數奇偶性、單調性的判斷及其應用，考查分類討論思想，屬中檔題．