Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，若f（-x）+f（x）＜2f（1），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中函數(shù)f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，分當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)三種情況分類求解不等式f（-x）+f（x）＜2f（1），最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
不等式f（-x）+f（x）＜2f（1）可化為：-2x-x²+x²+2x＜6，
此時(shí)不等式恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，-x=0，
不等式f（-x）+f（x）＜2f（1）可化為：0＜6，成立；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
不等式f（-x）+f（x）＜2f（1）可化為：x²-2x+2x-x²+＜6，
此時(shí)不等式恒成立，
綜上所述，實(shí)數(shù)x的取值范圍是R，
故答案為：R

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)分段處理，是解答分段函數(shù)的基本思路，也是分類討論思想最好的印證．