Question

根據下列條件，求圓錐曲線的標準方程．
（1）頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線；
（2）中心在坐標原點，焦點在坐標軸上且過點P（-2，0），Q（3，

5

2

）的雙曲線．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程,雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意設出拋物線方程，再由頂點到準線的距離為4求得p值，則拋物線方程可求；
（2）由雙曲線中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且過點P（-2，0），可得a=2，由此設出雙曲線方程為

x2

4

-

y2

b2

=1，把點Q（3，

5

2

）代入雙曲線方程求得b的值，則雙曲線方程可求．

解答： 解：（1）由題意可得拋物線方程為x²=2py 或x²=-2py．
又頂點到準線的距離為4，即

p

2

=4，∴p=8．
∴拋物線方程為：x²=16y 或x²=-16y；
（2）∵雙曲線中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且過點P（-2，0），
∴P為雙曲線的一個頂點，則a=2，
由此可設雙曲線方程為

x2

4

-

y2

b2

=1．
又雙曲線過點Q（3，

5

2

），則

32

4

-

( 5 2 )2

b2

=1，解得：b²=5．
∴所求雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1．

點評：本題考查了拋物線、雙曲線的標準方程的求法，考查了拋物線與雙曲線的簡單幾何性質，是基礎題．