Question

廣州某商場根據以往某種商品的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布表（如表）和頻率分布直方圖（如圖）． 

分組	頻數	頻率
[0，50]	n1	0.15
（50，100]	n2	0.25
（100，150]	n3	0.30
（150，200]	n4	0.20
（200，250]	n5	0.10

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立．
（1）求a₁，a₃的值．
（2）求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都高于100個且另1天的日銷售量不高于50個的概率；
（3）用X表示在未來3天里日銷售量高于100個的天數，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）由頻率分布直方圖，能求出a₁，a₃的值．
（2）設A₁表示事件“日銷售量高于100個”，A₂表示事件“日銷售量不高于50個”，B表示事件“在未來連續3天里有連續2天日銷售量高于100個且另1天銷售量不高于50個”，由此能求出結果．
（3）X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.6），由此能求出X的分布列和EX．

解答： （本小題滿分12分）
（1）解：由頻率分布直方圖，得：
a1=

0.10

50

=0.002，a3=

0.20

50

=0.004．…（2分）
（2）解：設A₁表示事件“日銷售量高于100個”，A₂表示事件“日銷售量不高于50個”，
B表示事件“在未來連續3天里有連續2天日銷售量高于100個且另1天銷售量不高于50個”．
P（A₁）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A₂）=0.15，
故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3）解：依題意，X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=

C

0 3

•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．