Question

已知數列{a_n}滿足a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*），數列{b_n}為等比數列，a₁=b₁=2，a₂=b₂
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的 通項公式．
（Ⅱ）若對每個正整數k，在b_k和b_k+1之間插入a_k個2，得到一個新數列{c_n}．設T_n是數列{c_n}的前n項和，試求滿足T_m=2c_m+1的所有正整數m．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由式子求出a₂，由題意求出公比，根據等比數列的通項公式求出b_n，利用遞推公式和累積法求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2ⁿ，a_k=2k，由已知寫出c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，討論m=1、2，m≥3，求出T_m、2c_m+1，列出方程并整理，討論方程的解，從而得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，a₁=2，a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*），
所以a₁=

1

2

a₂，解得a₂=4，
因為數列{b_n}為等比數列，a₁=b₁=2，a₂=b₂，
所以數列{b_n}的公比是2，即b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
由a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*）得，
當n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=

n-1

2

a_n（n∈N^*），
兩個式子相減得，a_n=

n

2

a_n+1-

n-1

2

a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

，
當n=1時，

a2

a1

=

4

2

=2符合上式，
當n≥2時，

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
以上n-1個式子相乘得，

an

a1

=

n

1

，所以a_n=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2ⁿ，a_k=2k，
由題意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，
則當m=1時，T₁≠2c₂，不合題意，當m=2時，T₂=2c₃，適合題意．
當m≥3時，若c_m+1=2，則T_m≠2c_m+1一定不適合題意，
從而c_m+1必是數列{b_n}中的某一項b_k+1，
則T_m=b₁+2+2+b₂+2+2+2+2+b₃+2+…+2+b₄+2+…+b₅+2+…+b₆+…+b_k-1+2+…+b_k，
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（2+4+…+2k）
=2×（2^k-1）+k（2+2k）=2^k+1+2k²+2k-2，
又2c_m+1=2b_k+1=2×2^k+1，
∴2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，∴2^k+1=k²+k，
∵2^k+1為奇數，k²+k=k（k+1）為偶數，∴上式無解．
即當m≥3時，T_m≠2c_m+1，
綜上知，滿足題意的正整數只有m=2．

點評：本題考查等比數列的通項公式，累積法求出數列的通項公式，等差、等比數列的前n項和公式，數列的求和方法：分組求和，同時考查邏輯推理能力，屬于綜合題．