Question

【題目】已知數列，其前項和為.

（1）若對任意的， ， ， 組成公差為4的等差數列，且，求；

（2）若數列是公比為（）的等比數列， 為常數，

求證：數列為等比數列的充要條件為.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：(1)根據題意,可求得， （）,從而得， ， ，……， ， 是公差為4的等差數列,且,于是可求；

(2)由 ,可求得,,兩式相減得,若,可證得數列為等比數列,(充分性);若數列為等比數列,可證得,(必要性).

試題解析：（1）因為， ， 成公差為4的等差數列，

所以， （），

所以， ， ，……， ， 是公差為4的等差數列，且

，

又因為，所以

（2）因為，所以，①

所以，②

②-①，得，③

（i）充分性：因為，所以， ， ，代入③式，得

，因為，又，

所以， ，所以為等比數列，

（ii）必要性：設的公比為，則由③得，

整理得，

此式為關于的恒等式，若，則左邊=0，右邊=-1，矛盾：

若，當且僅當時成立，所以.

由（i）、（ii）可知，數列為等比數列的充要條件.