Question

【題目】已知函數（其中， 為常數， 為自然對數的底數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）設曲線在處的切線為，當時，求直線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的遞增區間是， ，遞減區間是；

（2）截距的取值范圍是：

【解析】試題分析：（1）先求導數，根據導函數符號是否變號進行分類討論，當時，導函數非負，函數單調遞增；當時，導函數先正后負再正（2）先根據導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式求直線方程，解出在軸上截距，最后利用導數研究截距取值范圍

試題解析：（1），

當時， 恒成立，函數的遞增區間是；

當時， 或.

函數的遞增區間是， ，遞減區間是；

（2）， ，

所以直線的方程為： .

令得到：截距，記，

，記

（∵），所以遞減，

∴，∴，即在區間上單調遞減，

∴，即截距的取值范圍是： .