Question

已知函數f（x）=

-x3+x2+bx+c，(x＜1) alnx，(x≥1)

的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）求實數b，c的值；
（2）若函數y=f（x）圖象上存在兩點P，Q，使得對任意給定的正實數a都滿足△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上，求點P的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=-3x²+2x+b，從而可得f′（-1）=-3-2+b=-5，f（0）=0，從而解得；
（2）設P（x₁，f（x₁）），Q（-x₁，f（-x₁）），從而可得

f(x1)•f(-x1)

x1•(-x1)

=-1，再分類討論即可．

解答： 解：（1）當x＜1時，f（x）=-x³+x²+bx+c，
則f′（x）=-3x²+2x+b，
則可得，f′（-1）=-3-2+b=-5，
解得，b=0；
又f（0）=0知，c=0；
故b=c=0；
（2）設P（x₁，f（x₁）），∵PQ中點在y軸上，∴Q（-x₁，f（-x₁）），
∵OP⊥OQ，∴

f(x1)•f(-x1)

x1•(-x1)

=-1，①；
（i）當x₁=1時，f（x₁）=0；當x₁=-1時，f（-x₁）=0；故①不成立；
（ii）當-1＜x₁＜1時，f（x₁）=-

x

3 1

+

x

2 1

，f（-x₁）=

x

3 1

+

x

2 1

；
代入①得，（-

x

2 1

+x₁）（

x

2 1

+x₁）=1；
故

x

4 1

-

x

2 1

+1=0，故無解；
（iii）當x₁＞1時，f（x₁）=alnx₁，f（-x₁）=

x

3 1

+

x

2 1

；
代入①可得，

1

a

=（x₁+1）lnx₁，②；
設g（x₁）=（x₁+1）lnx₁，（x₁＞1）；
則g′（x₁）=lnx₁+

x1+1

x1

＞0，則g（x₁）是增函數，
由g（1）=0，
∴g（x₁）的值域是（0，+∞），
∴對任意給定的正實數a，②恒有解，滿足條件；
（iv）由P，Q橫坐標的對稱性同理可得，
當x₁＜-1時，f（x₁）=-

x

3 1

+

x

2 1

，f（-x₁）=aln（-x₁），
代入①得，

1

a

=（-x₁+1）ln（-x₁），③
設h（x₁）=（-x₁+1）ln（-x₁），（x₁＜-1），
∴h′（x₁）=-ln（-x₁）-

x1-1

x1

＜0，
則h（x₁）是減函數，
∵h（-1）=0，
∴h（x₁）的值域是（0，+∞），
∴對任意給定的正實數a，③恒有解，滿足條件；
綜上所述，滿足條件的點P的橫坐標的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評：本題考查了導數的幾何意義的應用及導數的綜合應用，屬于中檔題．