Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-mx²+nx（m，n∈R）．
（1）若f′（0）=f′（2）=1，求函數f（x）的解析式；
（2）設f′（m-1）=0，且f（x）在區間（0，1）上單調遞增，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=x²-2mx+n，從而可得n=4-4m+n=1，從而求函數f（x）的解析式；
（2）由f′（m-1）=（m-1）²-2m（m-1）+n=0可得n=m²-1；從而可得f′（x）=x²-2mx+m²-1=[x-（m-1）][x-（m+1）]，從而化為恒成立問題．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=x²-2mx+n，
則由f′（0）=f′（2）=1可得，
n=4-4m+n=1，
解得，m=1，n=1；
故函數f（x）的解析式為
f（x）=

1

3

x³-x²+x；
（2）∵f′（x）=x²-2mx+n，
∴f′（m-1）=（m-1）²-2m（m-1）+n=0，
故n=m²-1；
故f′（x）=x²-2mx+m²-1=[x-（m-1）][x-（m+1）]，
∵f（x）在區間（0，1）上單調遞增，
∴m-1≥1或m+1≤0；
故m≥2或m≤-1．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．