Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形， 底面， ， ， ， ．　

（1）求證：平面 平面；

（2）設為上的一點，滿足，若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（I）由直角三角形可得，由線面垂直的性質可得，從而可得平面進而可得結論；（II）以點為坐標原點， 分別軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（I）由，可得，

又

從而， 底面，

， 平面所以平面平面.

（II）由（I）可知為與底面所成角.

所以，所以

又及，可得,

以點為坐標原點， 分別軸建立空間直角坐標系，

則.

設平面的法向量.

則由得取

同理平面的法向量為

所以

又二面角為銳角.所以二面角余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查利用空間垂直關系以及空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.