Question

21.已知m，n為正整數(shù).

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，(1+x)^m≥1+mx；

（Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1,2…，n；

（Ⅲ）求出滿(mǎn)足等式3ⁿ+4ⁿ+…+(n+2)ⁿ=(n+3)ⁿ的所有正整數(shù)n.

Answer 1

本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題能力和推理能力。

解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，

因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/01/189806710110016801/5.gif" width=49 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1221">，所以左邊右邊，原不等式成立；

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，

，，于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以.即當(dāng)時(shí)，不等式也成立.

綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立.

（Ⅱ）證：當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，

于是，.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，

，

.

即.即當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足該等式的正整數(shù).

故只需要討論的情形：

當(dāng)時(shí)，，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，，等式成立；

當(dāng)時(shí)，，等式成立；

當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立.

綜上，所求的只有.

解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)，且時(shí)，，.　　           ①

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/01/189806710110016801/53.gif" width=37 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1269">，所以，即左邊右邊，不等式①成立；

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式①成立，即，則當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/01/189806710110016801/59.gif" width=45 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1275">，所以.又因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/01/189806710110016801/61.gif" width=89 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1277">，所以.

于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以.即當(dāng)時(shí)，不等式①也成立.

綜上所述，所證不等式成立.

（Ⅱ）證：當(dāng)，時(shí)，，，

而由（Ⅰ），，

.

（Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，

即有.　　　　　②

又由（Ⅱ）可得

，與②式矛盾.

故當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足該等式的正整數(shù).

下同解法1.