【題目】已知橢圓
，過點
作互相垂直的兩條直線分別交橢圓
于點
（與
不重合）.
（1）證明：直線
過定點
；
（2）若以點
為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形
的面積.
【答案】（1）證明見解析；（2）
或
【解析】
（1）先設出直線
的方程
，利用垂直關系求出
的值即可；
（2）由（1）有直線的方程為
，
，
，求得中點
，根據
，求得
，再由四邊形
的面積為
，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值.
（1）根據題意有：直線、
、
斜率均存在.
設
，
、
聯立：
，有：
，
所以：
，
.
因為
，
所以：
，
化簡得：
，
所以：
，
化簡得：
，解得
或
.
當
時，
過點
，則與
或
重合，不滿足題意，舍去，
所以：，即
所以：直線過定點
.
（2）由（1）有：，
則：，，.
如圖所示：
設線段的中點為
，
則：
，
.
因為以
為圓心的圓與直線相切于的中點，
所以：，
又因為：
，且
與
平行，
所以：
，
解得
或
.
由上圖有：四邊形的面積.
①當時：
，易得：
、
，
所以：
.
②當
時：
有：
，
所以：
.
由①②有：
或.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新能源汽車已經走進我們的生活，逐漸為大家所青睞.現在有某品牌的新能源汽車在甲市進行預售，預售場面異常火爆，故該經銷商采用競價策略基本規則是：①競價者都是網絡報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與競價的總人數；②競價采用“一月一期制”，當月競價時間截止后，系統根據當期汽車配額，按照競價人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2020年6月份的汽車競價，他為了預測最低成交價，根據網站的公告，統計了最近5個月參與競價的人數（如下表）
月份 | 2020.01 | 2020.02 | 2020.03 | 2020.04 | 2020.05 |
月份編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
競拍人數 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
（1）由收集數據的散點圖發現，可用線性回歸模型擬合競價人數y（萬人）與月份編號t之間的相關關系.請用最小二乘法求y關于t的線性回歸方程：
，并預測2020年6月份（月份編號為6）參與競價的人數；
（2）某市場調研機構對200位擬參加2020年6月份汽車競價人員的報價進行了一個抽樣調查，得到如表所示的頻數表：
報價區間（萬元） |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
（i）求這200位競價人員報價的平均值
和樣本方差s2（同一區間的報價用該價格區間的中點值代替）
（ii）假設所有參與競價人員的報價X可視為服從正態分布
且μ與σ2可分別由（i）中所示的樣本平均數及s2估計.若2020年月6份計劃提供的新能源車輛數為3174，根據市場調研，最低成交價高于樣本平均數，請你預測（需說明理由）最低成交價.
參考公式及數據：
①回歸方程
，其中
②
③若隨機變量X服從正態分布則
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數）.以坐標原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；
（2）求曲線與交點的極坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
(γ為參數)，曲線
的參數方程為
(s為參數)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐秘系，已知點A的極坐標為
，直線l：
(
)與交于點B，其中
．
（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的普通方程；
（2）過點A的直線m與交于M，N兩點，若
，且
，求α的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機械工程專家，機構運動學家勒洛首先發現，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，現在勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自正三角形外的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足：對任意
，若
，則
，且
，設
，集合
中元素的最小值記為
；集合
，集合
中元素最小值記為
.
（1）對于數列：
，求，；
（2）求證：
；
（3）求的最大值.
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