Question

【題目】已知橢圓

（1）求橢圓的標準方程和離心率；

（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于，兩點，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0

【解析】

（1）將橢圓方程化為標準方程，可得a，b，c，由離心率公式可得所求值；

（2）假設存在過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足，可設直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯立橢圓方程，消去x可得y的二次方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由向量共線的坐標表示，化簡整理解方程，即可判斷是否存在這樣的直線．

（1）由，得，進而，；

（2）假設存在過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足，

可設直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯立橢圓方程x2+2y2＝4，

可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①

由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②

將②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，

消去y1，可得＝，解得m2＝，所以，

故存在這樣的直線l，且方程為7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．