Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且△MNF2的周長為8．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

(1)根據三角形周長為8，結合橢圓的定義可知，，利用，即可求得和的值,求得橢圓方程；(2)分類討論，當直線斜率斜存在時,聯立，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算,求得和的關系，利用點到直線的距離公式即可求得點到直線的距離是否為定值.

（1）由題意知，4a=8，則a=2，

由橢圓離心率，則b2=3．

∴橢圓C的方程；

（2）由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x0，x0），B（x0，-x0）．

又A，B兩點在橢圓C上，

∴，

∴點O到直線AB的距離，

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b．設A（x1，y1），B（x2，y2）

聯立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．

由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，

由OA⊥OB，則x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，

整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，

∴ ．

∴7b2=12（k2+1），滿足△＞0．

∴點O到直線AB的距離為定值．

綜上可知：點O到直線AB的距離d=為定值．