Question

某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿（MN和AB、DC不重合）．
（1）當MN和AB之間的距離為1米時，求此時三角通風窗EMN的通風面積；
（2）設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S（平方米）表示成關于x的函數S=f（x）；
（3）當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）當MN和AB之間的距離為1米時，MN應位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，從而可求MN的長，由三角形面積公式求面積
（2）當MN在矩形區域內滑動，即時，由三角形面積公式建立面積模型．當MN在半圓形區域內滑動，即時，由三角形面積公式建立面積模型．
（3）根據分段函數，分別求得每段上的最大值，最后取它們當中最大的，即為原函數的最大值，并明確取值的狀態，從而得到實際問題的建設方案．
解答：解：（1）由題意，當MN和AB之間的距離為1米時，MN應位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，又因為EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通風窗EMN的通風面積為
（2）當MN在矩形區域內滑動，即時，△EMN的面積；
當MN在半圓形區域內滑動，即時，△EMN的面積
綜上可得；
（3）當MN在矩形區域內滑動時，f（x）在區間上單調遞減，則f（x）＜f（0）=；
當MN在半圓形區域內滑動，等號成立時，
因此當（米）時，每個三角形得到最大通風面積為平方米．
點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數求最值以及基本不等式法等解題方法．