Question

如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中AB＝2AD，AD＝，E為DC的中點，將它沿AE折成直二面角D-AE-B.

(1)求證：AD⊥平面BDE；
(2)求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)由題設可知AD⊥DE，取AE中點O，連接OD，BE.∵AD＝DE＝，∴OD⊥AE.又二面角D-AE-B為直二面角，∴OD⊥平面ABCE.又AE＝BE＝2，AB＝2，∴AB²＝AE²＋BE².∴AE⊥BE.取AB中點F，連接OF，則OF∥EB.∴OF⊥AE.以點O為原點，OA，OF，OD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系(如圖)，

則A(1,0,0)，D(0,0,1)，B(－1,2,0)，E(－1,0,0)，＝(－1,0,1)，＝(1，－2,1)，＝(0,2,0)，
設n＝(x₁，y₁，z₁)是平面BDE的法向量，
則即取x₁＝1，則z₁＝－1.
于是n＝(1,0，－1)．∴n＝－.∴n∥.∴AD⊥平面BDE.
(2)設m＝(x₂，y₂，z₂)是平面ABD的一個法向量，
則m·＝0，m·＝0，∴取x₂＝1，則y₂＝1，z₂＝1，則m＝(1,1,1)，平面ADE的法向量＝(0,1,0)．∴cos〈m，〉＝＝＝.∴二面角B-AD-E的余弦值為.