Question

關于x的方程cosx-lg|x|=0的根的個數（　　）

A．1

B．2

C．4

D．6

Answer 1

分析：在同一坐標系內作出y=cosx與y=lg|x|的圖象，研究兩個圖象交點的個數即可得到原方程根的個數．利用根的存在性定理和余弦函數、對數函數的圖象，分析出當x≥0時兩個圖象有3個不同的交點，再結合兩個函數都為偶函數可得原方程有6個實數根．

解答：解：原方程即cosx=lg|x|，在同一坐標系內作出y=cosx與y=lg|x|的圖象

由于兩個函數均為偶函數，因此方程的根必定為偶數，只須研究當x≥0時的圖象
∵x≥0時，cos

π

3

=

1

2

＞lg

π

3

，且cosπ=-1＜lgπ
∴在區間[0，π]上，兩個圖象有一個交點
又∵當x∈（π，3π）時，lgx∈（0，1），
而cosx在（π，2π）上為增函數，在（2π，3π）上為減函數，最大值為1
∴在區間（π，3π）上，兩個圖象有兩個交點
而當x≥3π時，易得在[3π，10]上兩個圖象沒有交點
由于在區間（10，+∞）上，lgx＞1恒成立而cosx≤1，兩個圖象也沒有交點
∴兩圖象在x≥3π時沒有交點．
綜上所述，當x≥0時，y=cosx與y=lg|x|的有3交點，得cosx=lg|x|有三個不同的根
結合兩個函數均為偶函數，得當x＜0時，cosx=lg|x|也有三個不同的根，故方程cosx-lg|x|=0的根的個數為6
故選：D

點評：本題給出關于余弦函數、對數函數的一個方程，討論方程根的個數．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、根的存在性定理和對數、三角函數值的計算等知識，屬于中檔題．