Question

【題目】已知函數．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求在區間 上的最小值；

（3）若函數有兩個極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，最小值為；當時，最小值為（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）要求曲線在某點處的切線方程，只要求出導數，計算出斜率，即可寫出切線方程；（2）要求最小值，先確定函數在上的單調性，由單調性可確定極小值與最小值；（3）要證明此不等式，先把表示出來，為此可求得，因此有兩個不等實根，同樣利用導數的性質研究的單調性，得只有時，才符合題意，又，，，

先證，即證，即證，這樣只要設（不妨設，），即要證證，設，因此下面研究函數的單調性與最大值，可完成證明．

試題解析：（1）當時，，所以曲線在點處的切線方程為

（2），，

當時，在增，最小值為；當時，在減，增，最小值為．

（3），，函數有兩個相異的極值點，即有兩個不同的實數根．

①當時，單調遞增，不可能有兩個不同的實根；

②當時，設，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

∴，∴，

不妨設，∵，

∴

先證，即證，即證，

令，即證，設，則，函數在單調遞減，∴，∴，又，∴，

∴