Question

（2005•南匯區一模）（理）如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ABC=90°，AB=5，BC=2，AD=8，異面直線AC₁與A₁D互相垂直．
（1）求直棱柱棱AA₁的長；
（2）若點M在線段A₁D上，AM⊥A₁D，求直線AD與平面AMC₁所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據題意建立空間直角坐標系寫出點的坐標，即可得到有關向量的坐標，再利用異面直線AC₁與A₁D互相垂直，

AC1

⊥

A1D

，即

AC1

•

A1D

=0，進而得到答案．
（2）由（1）可得

A1D

•

AC1

=0，即A₁D⊥AC₁，再結合題意可得：A₁D⊥平面AC₁M，可得∠MAD即為直線AD與平面AMC₁所成的角，再利用題中的條件與解三角形的有關知識可得答案．

解答：解：（1）因為在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=90°，
所以AD，AB，AA₁三條直線兩兩垂直，
所以以A為坐標原點以AB、AD、AA₁所在直線分別x軸、y軸、Z軸建立直角坐標系，設棱AA₁的長為a，（a＞0）
則有A （0，0，0），B （5，0，0），C（5，2，0），D（0，8，0），A₁（0，0，a），B₁（5，0，a），C₁（5，2，a），D₁（0，8，a），
∴

AC1

=(5，2，a)，

A1D

=(0，8，-a)，（3分）
又因為異面直線AC₁與A₁D互相垂直，
所以

AC1

⊥

A1D

，即

AC1

•

A1D

=0，（6分）
所以可得：a=4，
故棱AA₁的長為4．（8分）
（2）由（1）知

A1D

=（0，8，-4），

AC1

=（5，2，4），
所以

A1D

•

AC1

=0，即A₁D⊥AC₁，
又因為AM⊥A₁D，AM∩AC₁=A，
所以A₁D⊥平面AC₁M，
所以∠MAD即為直線AD與平面AMC₁所成的角．（10分）
因為AA₁=4，AD=8，AM⊥A₁D，
所以AM=

8 5

5

，
所以cos∠MAD=

AM

AD

=

8 5 5

8

=

5

5

（12分）
所以直線AD與平面AMC₁所成的角的大小是arccos

5

5

．（13分）

點評：本題主要考查利用向量證明線線垂直，進而得到線面垂直，并且考查了線面角的求解，解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征與向量之間的有關運算．