Question

已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）滿足

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，y=

f(x)

ex

關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則不等式

f(x2-x)

ex2-x

＜f（0）的解集是（　　）

• A、（-1，2）
• B、（1，2）
• C、（-1，0）∪（1，2）
• D、（-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,其他不等式的解法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令g（x）═

f(x)

ex

，求出導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）-f（x）＞0則g′（x）＞0，判定出g（x）在（1，+∞）上單增；據(jù)y=

f(x)

ex

關(guān)于直線x=1對(duì)稱，將不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)去掉，解出x即可．

解答： 解：令g（x）═

f(x)

ex

，
∴g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

，
∵

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）-f（x）＞0則g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上單增；
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）-f（x）＜0則g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，1）上單減；
∵g（0）=f（0），
∴不等式

f(x2-x)

ex2-x

＜f（0）即為不等式g（x²-x）＜g（0），
∵y=

f(x)

ex

關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴|x²-x|＜0
∴|x²-x-1|＜1
解得-1＜x＜0或1＜x＜2
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性；考查利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式，屬于難題．