Question

（本小題滿分14分）
已知直角梯形中(如圖1），，為的中點，
將沿折起，使面面（如圖2），點在線段上，.
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在四棱錐的棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)略
(2)
(3) 存在的中點，使得平面. 

解：（1）依題意知：.
又面面，面面，面，
所以面.                                       …………2分
又因為.
以為原點，建立如圖所示的坐標系，                          …………3分
則.            …………4分
由于，
所以,
即.                                              …………5分
所以，.
所以.       …………6分
（2）易知為平面的法向量. …………7分
設平面的法向量為，
則即，…………8分
令 則，即.                     …………9分
二面角的平面角為，則.…………10分
（3）方法一：存在的中點，使得：平面，證明如下：
連接，交于，取中點，連.
在△中，分別為中點，則.        …………11分
在△中，分別為中點，則.        …………12分
所以平面平面.
又平面，
所以平面.                                       …………14分
方法二：假設在四棱錐的棱上存在一點，使得平面，不妨設：，                                      …………11分
由，得.                   …………12分
由（2）知平面的法向量，由得.  ……13分
故存在的中點，使得平面.                   …………14分