Question

【題目】某種汽車的購車費用是10萬元，每年使用的保險費、養路費、汽油費約為萬元，年維修費用第一年是萬元，第二年是萬元，第三年是萬元，…，以后逐年遞增萬元汽車的購車費用、每年使用的保險費、養路費、汽油費、維修費用的和平均攤到每一年的費用叫做年平均費用.設這種汽車使用年的維修費用的和為，年平均費用為.

(1）求出函數，的解析式；

(2）這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最小？最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1），；（2）時，年平均費用最小，最小值為3萬元．

【解析】

試題根據題意可知，汽車使用年的維修費用的和為，而第一年的維修費用是萬元，以后逐年遞增萬元，每一年的維修費用形成以為首項，為公差的等差數列，根據等差數列的前項和即可求出的解析式；將購車費、每年使用的保險費、養路費、汽油費以及維修費用之和除以即可得到年平均費用，根據基本不等式即可求出平均費用的最小值．

試題解析：（1）根據題意可知，汽車使用年的維修費用的和為，而第一年的維修費用是萬元，以后逐年遞增萬元，每一年的維修費用形成以為首項，為公差的等差數列，根據等差數列的前項和公式可得：

因為購車費、每年使用的保險費、養路費、汽油費以及維修費用之和為，

所以年平均費用為；

（2）因為

所以當且僅當即時，年平均費用最小，最小值為3萬元．