Question

已知函數f（x）=[2sin（x+

π

3

）+sinx]cosx-

3

sin²x．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，

5π

12

]時，求函數f（x）的最大值和最小值，及此時x的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由三角函數公式化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由周期公式可得；
（2）由x∈[0，

5π

12

]可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，可得當x=

π

12

時，函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）的取最大值2，當x=

5π

12

時，函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）的取最小值-1

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=[2sin（x+

π

3

）+sinx]cosx-

3

sin²x
=[2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）+sinx]cosx-

3

sin²x
=（2sinx+

3

cosx）cosx-

3

sin²x
=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[0，

5π

12

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，
當x=

π

12

時，函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）的取最大值2，
當x=

5π

12

時，函數f（x）=2sin（2x+

π

3

）的取最小值-1

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，涉及三角形函數的周期性和最值，屬基礎題．