Question

【題目】某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（1）若建立函數y=f（x）模型制定獎勵方案，試用數學語言表述該公司對獎勵函數f（x）模型的基本要求，并分析函數y= 是否符合公司要求的獎勵函數模型，并說明原因；
（2）若該公司采用模型函數y= 作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設獎勵函數模型為y=f（x），則公司對函數模型的基本要求是：

當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤ 恒成立．

對于函數模型f（x）= ：當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，則f（x）max=f（1000）= +2= +2＜9

所以f（x）≤9恒成立．

因為x=10時，f（10）= ，所以，f（x）≤ 不恒成立．

故該函數模型不符合公司要求

（2）解：對于函數模型f（x）= ，即f（x）=10﹣

當3a+20＞0，即a＞﹣ 時遞增，

為要使f（x）≤9對x∈[10，1000]時恒成立，即f（1000）≤9

∴3a+18≥1000，∴a

為要使f（x）≤ 對x∈[10，1000]時恒成立，即 ，∴x2﹣48x+15a≥0恒成立，∴a

綜上，a ，所以滿足條件的最小的正整數a的值為328

【解析】（1）設獎勵函數模型為y=f（x），根據獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%，即f（x）≤ ．對于函數模型，由一次函數的性質研究，是否滿足第一，二兩個條件，利用反例研究是否滿足第三個條件；（2）對于函數模型f（x）= ，即f（x）=10﹣ 當3a+20＞0，即a＞﹣ 時遞增，利用f（1000）≤9， ，即可確定a的范圍，從而可求滿足條件的最小的正整數a的值．