Question

【題目】已知離心率為 的橢圓C： + =1（a＞b＞0）過點P（﹣1， ）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線AB：y=k（x+1）交橢圓C于A、B兩點，交直線l：x=m于點M，設直線PA、PB、PM的斜率依次為k1、k2、k3 ， 問是否存在實數t，使得k1+k2=tk3？若存在，求出實數t的值以及直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓的離心率e= = ，則a= c，

b2=a2﹣c2=c2，將P代橢圓方程： ，則 ，解得：c=1，

則a= ，b=1，

∴橢圓的方程：

（2）解：由題意可知：k顯然存在且不為0，設A（x1，y1），B（x2，y2），y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

則 ，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

當x=m時，y=k（m+1），

則k1= ，k2= ，則k3= ，

則k1+k2= + = = =2k+ ，

由k1+k2=tk3，2k+ =t× =tk﹣ ，則當t=2，m=﹣2

∴當直線l：x=﹣2，存在實數t=2，使得k1+k2=tk3成立

【解析】（1）由橢圓的離心率公式，將P代橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）將直線l代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，求得k1+k2及k3，假設存在實數t，使得k1+k2=tk3，代入即可求得t和m的值．