Question

【題目】已知橢圓E: 的左焦點(diǎn)為,且過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓E交于兩點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，且滿足.

①若,求： 的值；

②設(shè)點(diǎn)是橢圓E的左頂點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，試探究：在線段上是否存在一個定點(diǎn)，使得直線過定點(diǎn)，如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ②故存在使得直線過定點(diǎn)。

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)在橢圓上及焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用定義，可得，進(jìn)而得方程；

（2）①設(shè), ，直線與橢圓聯(lián)立得: ，由得，進(jìn)而利用韋達(dá)定理求解即可；

②假設(shè)存在使得直線過定點(diǎn)。則，由，利用坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.

試題解析：

(Ⅰ)因?yàn)榻裹c(diǎn)為， ，又橢圓過，

取橢圓的右焦點(diǎn)， ，由得，

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）①設(shè), ,

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)，

由得:

得, ,（1）

（2）

由（1）（2）解得：

符合,所以,

解得,

②假設(shè)存在使得直線過定點(diǎn)。則

則

又， 即

因?yàn)?/span>， ，

即得：

故存在使得直線過定點(diǎn)。