Question

已知k為實數，對于實數a和b定義運算“*”：a*b=

a2-kab，a≤b b2-kab，a＞b

，設f（x）=（2x-1）*（x-1）．
（Ⅰ）若f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上為增函數，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）已知k＞

1

2

，且當x＞0時，f（f（x））＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由新定義，運用分段函數的形式求出f（x）的解析式，再由導數大于等于0恒成立，解不等式即可得到；
（Ⅱ）通過x=1求出f（f（1））＞0求出k＜1，再對x＞0，x≤0，分別判斷f（x）的值域，進而求得f（f（x））的值域，即可得到k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（2x-1）*（x-1）
=

2(2-k)x2+(3k-4)x+1-k，x≤0 (1-2k)x2+(3k-2)x+1-k，x＞0

，
若f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上為增函數，
則當-

1

2

≤x≤0時，f（x）的導數4（2-k）x+3k-4≥0恒成立，
當0＜x≤

1

2

時，f（x）的導數2（1-2k）x+3k-2≥0恒成立．
即有

-2(2-k)+3k-4≥0 3k-4≥0 1-2k+3k-2≥0 3k-2≥0

即為

k≥ 8 5 k≥ 4 3 k≥1 k≥ 2 3

，
解得k≥

8

5

；
（Ⅱ）由k＞

1

2

，且當x＞0時，
當x=1時，f（1）=1-2k+3k-2+1-k=0，
f（0）=1-k，
當k≥1時，f（0）≤0，
由當x＞0時，f（f（x））＞0恒成立，
則k＜1．
當

1

2

＜k＜1時，當f（x）≤0時，拋物線開口向上，且f（x）＞f（0）=1-k，
均有f（f（x））＞f（1-k）＞0，
當f（x）＞0，則拋物線開口向下，且f（x）＜f（0）=1-k，
均有f（f（x））＞f（1-k）＞0．
則有k的取值范圍為（

1

2

，1）．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查分段函數的運用，考查二次函數的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．