Question

當(dāng)x∈[-1，2]時，不等式ax³-x²-4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[

  9

  8

  ，6]
• B、[2，6]
• C、[3，4]
• D、[3，5]

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分x=0，0＜x≤2，-1≤x＜0三種情況進行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對a取交集．

解答： 解：當(dāng)x=0時，不等式ax³-x²-4x+3≥0對任意a∈R恒成立；
當(dāng)0＜x≤2時，ax³-x²-4x+3≥0可化為a≥

1

x

+

4

x2

-

3

x3

，
令f（x）=

1

x

+

4

x2

-

3

x3

，則f′（x）=-

1

x2

-

8

x3

+

9

x4

=-

(x+9)(x-1)

x4

（*），
當(dāng)0＜x≤2時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在（1，2]單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（1）=2，∴a≥2；
當(dāng)-1≤x＜0時，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤

1

x

+

4

x2

-

3

x3

，
由（*）式可知，當(dāng)-1≤x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（-1）=6，∴a≤6；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是2≤a≤6，即實數(shù)a的取值范圍是[2，6]．
故選：B．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題．