Question

已知函數，，其中為常數，，函數和的圖像在它們與坐標軸交點處的切線分別為、，且.
（1）求常數的值及、的方程；
（2）求證：對于函數和公共定義域內的任意實數，有；
（3）若存在使不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1），所以直線的方程為，直線的方程為；
（2）詳見解析；（3）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）先確定函數、的圖象與坐標軸的交點，利用相應的圖象在交點處的切線平行列出有關的方程求解出的值，然后在確定兩個函數圖象與坐標軸的交點，利用導數求出直線、的方程；
（2）利用的性質，引入函數，從而將化為，構造新函數，，問題轉換為進行處理；（3）將等價轉化為，構造新函數，將問題轉化為進行處理，結合導數來求函數的最小值，在判斷導數的符號時，可以結合基本不等式來處理.
試題解析：（1）對于函數而言，，函數的定義域為，
故函數與軸無交點，因此函數與軸有交點，
令，解得，，，
，，即函數的圖象與軸無交點，與軸有交點，
且，，
由題意知，，即，解得，因為，所以，
，，，，，，
所以直線的方程為，即，
直線的方程為，即；
（2）函數與的公共定義域為，
在同一坐標系中畫出函數，和函數的圖象，易知當時，，
，
令，，其中，
，故函數在上單調遞增，所以，
，令，解得，
當時，，當時，，
故函數在處取得極小值，亦即最小值，即，，
，證畢！
（3）問題等價于“存在使得成立”“存在使得成立”，其中，
令，則有，則函數的定義域為，

，故函數在上單調遞減，所以，
因此，故實數的取值范圍是.