Question

已知函數（m為常數,e=2.71828…是自然對數的底數），函數 的最小值為1，其中 是函數f(x)的導數.
（1）求m的值.
（2）判斷直線y=e是否為曲線f(x)的切線，若是，試求出切點坐標和函數f(x)的單調區間；若不是，請說明理由.

Answer 1

（1） 1  ;（2）是,（1，e）;單調減區間(0,+∞).

試題分析：（1）求導數，轉化為分式不等式，最后根據不等式的基本性質求解即可.（2）利用導數的幾何意義，求過（1，e）的切線即可驗證.
試題解析：由，得，∞），
=，
所以2-m=1，解得m=1.
（2）由(1)得，得，令h（x）=，則=，
當時，>0，當∞）時，<0,所以h（x）_max=h（1）=0.
又因為e^x>0,所以可得當∞）時，恒成立.故當∞）時，函數單調遞減.
因為且，所以曲線在（1，e）點出的切線方程為y-e=0（x-1），即y=e.
所以直線y=e是曲線f(x)的切線，切點坐標（1，e），且在∞）上單調遞減.