Question

在高中數(shù)學(xué)課本中我們見(jiàn)過(guò)許多的“信息技術(shù)應(yīng)用”，我們可以利用幾何畫板軟件的拖動(dòng)、動(dòng)畫及計(jì)算等功能來(lái)研究許多數(shù)學(xué)問(wèn)題．比如：在平面內(nèi)做一條線段KL，以定點(diǎn)A為圓心，以|KL|為半徑作一圓，在圓內(nèi)取一定點(diǎn)F，在圓上取動(dòng)點(diǎn)B，作線段BF的中垂線與圓A的半徑AB交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡．
（Ⅰ）你能猜出點(diǎn)P的軌跡是什么曲線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；若|KL|=6，|AF|=4，以線段AF的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線AF為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，試求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作直線l與點(diǎn)P的軌跡交于兩點(diǎn)M、N，試求線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，利用線段中垂線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用點(diǎn)差法，可得線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓．理由如下：
連接PF，則|PF|=|PB|，故|PA|+|PF|=|PA|+|PB|=|AB|=|KL|（定值）＞|AF|，
由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓．
∵|KF|=6，|AF|=4，
∴2a=6，2c=4，
∴a=3，c=2，
∴b=

5

，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

9

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A（-2，0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)Q（x，y）．
由點(diǎn)差法，可得x₁≠x₂，k_MN=

y1-y2

x1-x2

=

5(x1+x2)

-9(y1+y2)

=

5x

-9y

，
∴

5x

-9y

=

y

x+2

，即5x²+9y²+10x=0
x₁=x₂，Q（-2，0）也滿足上述方程，
∴線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程為5x²+9y²+10x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考察橢圓的定義，考查點(diǎn)差法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．