Question

求下列函數的定義域、值域：
（1）y=

2-x2-1- 1 4

；
（2）y=log₂（x²+2x+5）；
（3）y=log 

1

3

（-x²+4x+5）；
（4）y=

loga(-x2-x)

．

Answer 1

考點：對數函數的值域與最值

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）運用指數函數的單調性，以及二次函數的值域，即可得到所求的定義域和值域；
（2）運用二次函數的值域以及對數函數的單調性，即可得到所求；
（3）運用二次不等式的解法，可得定義域，再由二次函數的值域結合對數函數的單調性，即可得到值域；
（4）對a討論，a＞1，0＜a＜1，由被開方數非負和對數真數大于0，解不等式即可得到定義域；由二次函數的值域和對數函數的單調性，即可得到值域．

解答： 解：（1）由2-x2-1-

1

4

≥0可得，-x²-1≥-2，解得-1≤x≤1，即定義域為[-1，1]，
由于-x²-1≤-1，則

1

4

≤2-x2-1≤

1

2

，則有0≤2-x2-1-

1

4

≤

1

4

，即有0≤y≤

1

2

，則值域為[0，

1

2

]；
（2）由x²+2x+5＞0，解得x∈R，即定義域為R，
由x²+2x+5=（x+1）²+4≥4，則log₂（x²+2x+5）≥log₂4=2，即值域為[2，+∞）；
（3）由-x²+4x+5＞0，解得-1＜x＜5，即定義域為（-1，5），
由-x²+4x+5=-（x-2）²+9≤9，則log 

1

3

（-x²+4x+5）≥log 

1

3

9=-2，則值域為[-2，+∞）；
（4）當a＞1時，由-x²-x＞0且log_a（-x²-x）≥0，解得-1＜x＜0且x²+x+1≤0，即有x∈∅，
則y不為函數；
當0＜a＜1時，由-x²-x＞0且log_a（-x²-x）≥0，解得-1＜x＜0且x²+x+1≥0，即-1＜x＜0，
則定義域為（-1，0）；
由于-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，則log_a（-x²-x）≥log_a

1

4

，則值域為[

loga 1 4

，+∞）．

點評：本題考查函數的定義域和值域的求法，考查指數函數和對數函數的單調性和值域，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．